Criptografía
El cifrado de Hill mezcla letras con una matriz clave. Quien recibe el mensaje usa la inversa de la clave para leerlo.
Actividad Colaborativa, Álgebra lineal
Integrantes
- Diego Ronaldo Sánchez Pichardo
- Gael Mateo Pérez Montejo
- Diego López Garduza
- Vicente Luis Argáez
Grupo K014
2do parcial
Docente: Luis Roberto Ovando Rueda
14 de octubre de 2026
47
12
1. Aplicaciones
¿Dónde se usa la matriz inversa?
Cuando una matriz transforma datos, su inversa los regresa a como estaban. Esa idea aparece en software, hardware y redes.
Gráficos 2D y 3D
Rotar, escalar o mover un objeto es multiplicar por una matriz. La inversa deshace el cambio, por ejemplo al pasar de la pantalla al mundo del juego.
Visión por computadora
Calibrar una cámara o ubicar un punto de la imagen en el espacio lleva a resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Robótica
La pose de un brazo se describe con matrices. Con la inversa se pasa de las coordenadas de la herramienta a las de la base.
Corrección de errores
Algunos códigos para redes y discos recuperan los datos perdidos invirtiendo una parte de la matriz de codificación.
Ciencia de datos
En una regresión lineal los coeficientes del modelo se obtienen invirtiendo una matriz armada con los datos.
2. Regla clave
Menores y cofactores
El menor de la posición (i, j) es el determinante que queda al quitar la fila i y la columna j de la matriz A.
El cofactor es ese mismo menor con un signo que depende de la posición. Los signos se alternan como en un tablero de ajedrez.
Fórmula del cofactor
Patrón de signos en 3 x 3
+−+
−+−
+−+
Ejemplo: menor de la posición (1, 2)
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
M12 =
a21a23
a31a33
Se tachan la fila 1 y la columna 2.
2. Regla clave
Matriz adjunta e inversa
La adjunta
Es la transpuesta de la matriz de cofactores.
C
C11C12C13
C21C22C23
C31C32C33
La inversa
Solo existe si .
Si la matriz es singular y no tiene inversa.
Por eso conviene calcular el determinante primero. Si sale cero, ya no hace falta seguir.
Atajo para 2 x 2
abcd
a
b
c
d
Se intercambian los elementos de la diagonal principal y los otros dos cambian de signo.
2. Propiedades
Propiedades de la inversa
La inversa deshace lo que hace A.
Al invertir un producto, el orden se invierte.
Da lo mismo transponer y luego invertir, o al revés.
La inversa de la inversa es la matriz original.
Por eso det(A) no puede ser cero.
De aquí sale la fórmula de la inversa.
3. Ejemplo resuelto
Ejemplo 1: inversa de una matriz 2 x 2
42
7−1
1−7
24
A
1
Paso 1. Determinante
2
Paso 2. Cofactores
3
Paso 3. Adjunta
2−7−14
4
Paso 4. Inversa
2−7−14
=
2−7−14
Verificación
4712
2−7−14
=
8 − 7
−28 + 28
2 − 2
−7 + 8
=
1001
3. Ejemplo resuelto
Ejemplo 2: matriz 3 x 3, determinante y cofactores
123
014
560
A
Determinante por la fila 1
Como det(A) = 1, la inversa existe y será entera.
Los nueve cofactores
3. Ejemplo resuelto
Ejemplo 2: adjunta, inversa y verificación
Matriz de cofactores y adjunta
C =
−2420−5
18−154
5−41
−24185
20−15−4
−541
Inversa
−24185
20−15−4
−541
Verificación
123
014
560
−24185
20−15−4
−541
=
100
010
001
Ejemplo de una entrada: fila 1 por columna 1 da 1·(−24) + 2·20 + 3·(−5) = −24 + 40 − 15 = 1.
3. Gráficos 2D y 3D
Gráfico 2D: A mueve la cuadrícula y A−1 la regresa
A
A−1
A =
4712
A−1 =
2−7−14
- Usamos la misma A del ejemplo 1.
- Sus columnas dicen a dónde van los ejes: (1, 0) va a (4, 1) y (0, 1) va a (7, 2).
- El cuadrado unitario se vuelve un paralelogramo con vértices (0, 0), (4, 1), (11, 3) y (7, 2).
- Como det(A) = 1, el área sigue siendo 1. Se inclina, pero no crece.
Ida:
4712
11
=
4 + 71 + 2
=
113
Regreso:
2−7−14
113
=
22 − 21−11 + 12
=
11
A−1 hace el camino de regreso: cada punto vuelve exactamente a donde estaba. Eso pasa en un juego cuando un clic en la pantalla se convierte otra vez en una posición del mundo.
Mismos números del ejemplo 1, ahora vistos como movimiento del plano.
3. Gráficos 2D y 3D
En 2D el determinante dice cuánto cambia el área
1área
A =
4712
Con la A del ejemplo 1 el paralelogramo tiene área 1, igual que el cuadrado. Se inclina, pero no crece.
1área
K =
3257
Con la clave K del cifrado de Hill el cuadrado pasa a tener área 11. Con números reales su inversa divide el área entre 11:
7−2−53
1área
S =
2412
det(S) = 2·2 − 4·1 = 0. Todo el plano cae sobre la recta y = x/2. Los puntos (2, 0) y (0, 1) llegan al mismo punto (4, 2), así que no hay forma de regresar: S no tiene inversa.
S−1Regla: el área nueva es |det| por el área original. Si det = 0 el área se vuelve 0, se pierde información y no existe la inversa.
3. Gráficos 2D y 3D
Gráfico 3D: A deforma el cubo y A−1 lo regresa
cubo unitario, volumen 1
A
A−1
A =
123
014
560
- Usamos la misma A del ejemplo 2.
- Sus columnas dicen a dónde van las aristas del cubo: (1, 0, 0) va a (1, 0, 5), (0, 1, 0) va a (2, 1, 6) y (0, 0, 1) va a (3, 4, 0).
- La esquina (1, 1, 1) llega a (6, 5, 11).
- Como det(A) = 1, el sólido nuevo tiene volumen 1, igual que el cubo.
Regreso:
6511
=
−24185
20−15−4
−541
6511
=
−144 + 90 + 55120 − 75 − 44−30 + 20 + 11
=
111
A−1 deshace la deformación: la esquina regresa a (1, 1, 1) y el cubo queda como al inicio.
3. Gráficos 2D y 3D
En 3D el determinante dice cuánto cambia el volumen
1volumen
123
014
560
Con la A del ejemplo 2 el cubo se deforma, pero su volumen sigue siendo 1.
1volumen
100
010
00−1
R refleja el cubo como un espejo en el piso. El volumen es |−1| = 1 y el signo menos dice que se volteó. Su inversa es la misma R.
1volumen
200
020
002
Hacer zoom al doble en x, y y z, como en un juego 3D, multiplica el volumen por 2·2·2 = 8. La inversa es ½ I y lo regresa.
1volumen
101
011
000
La tercera columna es la suma de las otras dos. Todo el cubo queda aplastado en el piso, el volumen es 0 y N no tiene inversa.
N−1Regla: volumen nuevo = |det| · volumen original. Y como , la inversa siempre deshace el cambio de volumen.
3. Aplicación
Cifrado de Hill: cifrar una palabra
Cada letra pasa a un número: A = 0, B = 1, ..., Z = 25. En GATO tenemos G = 6, A = 0, T = 19 y O = 14. Se forman pares y cada par es un vector columna.
Cada vector se multiplica por la clave K y el resultado se reduce módulo 26.
GATO
Clave
K =
3257
Par GA
Par TO
18, 4, 7, 11 dan las letras SEHL. Ese es el mensaje cifrado.
SEHL
3. Aplicación
Cifrado de Hill: descifrar con la inversa
Inversa de la clave módulo 26
det(K) = 11 y mcd(11, 26) = 1, así que la clave sí se puede invertir.
El inverso de 11 módulo 26 es 19.
Se comprueba porque .
7−2−53
7−2−53
=
133−38−9557
31495
(mód 26)
Par SE
31495
184
=
110182
60
GA
Par HL
31495
711
=
175118
1914
TO
Se recupera GATO. Sin la inversa de K no hay forma directa de leer el mensaje.
GATO
4. Ejercicios para el equipo
Ahora les toca a ustedes
Para cada matriz calculen el determinante, todos los cofactores, la adjunta y la inversa. Al final comprueben que el producto da la identidad.
Ejercicio 1
B =
7321
Matriz 2 x 2. Pueden usar el atajo, pero escriban también los cuatro cofactores.
Ejercicio 2
D =
110
211
102
Matriz 3 x 3. Revisen con cuidado el signo del determinante antes de dividir.
Reto de Hill
H =
5221
Descifren el mensaje JWVG que se cifró con la clave H. Primero obtengan la inversa de H módulo 26.
5. Respuestas
Solución del ejercicio 1 y del reto de Hill
Ejercicio 1
C11 = 1, C12 = −2, C21 = −3, C22 = 7
1−3−27
1−3−27
7 − 6−21 + 21
2 − 2−6 + 7
=
1001
Reto de Hill
det(H) = 5 − 4 = 1, así que su inverso módulo 26 es 1.
1−2−25
=
124245
(mód 26)
J = 9, W = 22, V = 21, G = 6
124245
922
=
537326
1714
RO
124245
216
=
165534
914
JO
El mensaje es
ROJO
5. Respuestas
Solución del ejercicio 2: determinante y cofactores
110
211
102
D
Determinante por la fila 1
−1El determinante es −1, así que la inversa es −adj(D).
Los nueve cofactores
5. Respuestas
Solución del ejercicio 2: adjunta, inversa y verificación
Matriz de cofactores y adjunta
C =
2−3−1
−221
1−1−1
2−21
−32−1
−11−1
Inversa
2−21
−32−1
−11−1
=
−22−1
3−21
1−11
Verificación
110
211
102
−22−1
3−21
1−11
=
100
010
001
Ejemplo de una entrada: fila 1 por columna 1 da 1·(−2) + 1·3 + 0·1 = 1.
Referencias
Referencias
Grossman, S. I., y Flores Godoy, J. J. (2012). Álgebra lineal (7a ed.). McGraw-Hill.
Hill, L. S. (1929). Cryptography in an algebraic alphabet. The American Mathematical Monthly, 36(6), 306-312. https://doi.org/10.2307/2298294
Lay, D. C., Lay, S. R., y McDonald, J. J. (2016). Linear algebra and its applications (5th ed.). Pearson.